৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.১ অধ্যায়ের অনুশীলনীর সমাধান
এই অধ্যায়টি এস. এস. সি. এবং ৯ম ও ১০ম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের জন্য অনেক গুরুত্বপূর্ণ। এখানে আজকের আর্টিকেলে প্রতি অংকের সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। আশা করি সকল শিক্ষার্থী সহজেই বুঝতে পারবেন।
৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিতের ১১.১ অধ্যায়ের সমাধান পার্ট ১
৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিতের ১১.১ অধ্যায়ের সমাধান পার্ট ২
অনুশীলনীর সকল অংকের সমাধান
১. প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত বিন্দুসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করঃ
ক) (2,3) ও (4,6)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(2,3) এবং Q(4,6)।
তাহলে,
(PQ)2=(4-2)2+(6-3)2
= 22+32
=4+9
=13
বা, PQ=√13
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √13 একক (Ans.)
খ) (-3,7) ও (-7,3)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(-3,7) এবং Q(-7,3)।
তাহলে,
(PQ)2={-7-(-3)}2+(3-7)2
=(-7+3)2+(-4)2
= (-4)2+16
=16+16
=32
বা, PQ=√32 = √16.2 = 4√2
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = 4√2 একক (Ans.)
গ) (a,b) ও (b,a)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(a,b) এবং Q(b,a)।
তাহলে,
(PQ)2 = (b-a)2+(a-b)2
=(a-b)2+(a-b)2
=2(a-b)2
বা, PQ=(a-b)√2
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ =(a-b)√2 একক (Ans.)
ঘ) (0,0) ও (sinθ,cosθ)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(0,0) এবং Q(sinθ,cosθ)।
তাহলে,
(PQ)2 = (sinθ-0)2+(cosθ-0)2
=(sinθ)2+(cosθ)2
=sin2θ+cos2θ
=1
বা, PQ = √1 = 1
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = 1 একক (Ans.)
ঙ) (-3/2,-1) ও ( ½, 2)
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(-3/2,-1) এবং Q(½, 2)।
তাহলে,
(PQ)2 = { ½ -(-3/2)}2+{2-(-1)}2
=( ½ - 3/2)2+(2+1)2
=(4/2)2+32
=4+9
=13
বা, PQ = √13
অতএব, P ও Q এর মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ = √13 একক (Ans.)
২. একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় যথাক্রমে A(2,-4), B(-4,4) ও C(3,3)। ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং দেখাও যে, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুসমূহ যথাক্রমে A(2,-4), B(-4,4) ও C(3,3)। ছক কাগজে xy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো (ক্ষুদ্রতম ১ বর্গ = ১ একক ধরে) এবং A,B; B,C ও C,A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো।
এখন,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= √{(-4-2)2+(4+4)2}
=√{(-6)2+82}
=√(36+64)
=√100
=10 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(3+4)2+(3-4)2}
=√{72+(-1)2}
=√(49+1
=√50
=5√2 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(3-2)2+(3+4)2}
=√(12+72)
=√(1+49)
=√50
=5√2
অতএব, AB বাহুর দৈর্ঘ্য ≠ BC বাহুর দৈর্ঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য
তাহলে, ABC একটি সমদ্বিবাহ ত্রিভুজ (দেখানো হলো)।
৩. A(2,5), B(-1,1) ও C(2,1) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং দেখাও যে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুসমূহ যথাক্রমে A(2,5), B(-1,1) ও C(2,1)। ছক কাগজে xy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো (ক্ষুদ্রতম ১ বর্গ = ১ একক ধরে) এবং A,B; B,C ও C,A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো।
এখন,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= √{(-1-2)2+(1-5)2}
=√{(-3)2+(-4)2}
=√(9+16)
=√25
=5 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(2+1)2+(1-1)2}
=√(32+02)
=√(9+0
=√9
=3 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(2-2)2+(1-5)2}
=√(02+(-4)2)
=√(0+16)
=√16
=4
কিন্তু, BC2+AC2 = 32+42 = 25 = 52 = AB 2
অতএব, পীথাগোরাসের সূত্র অনুসারে ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ (দেখানো হলো)।
৪. A(1,2), B(-3,5) ও C(5,-1) বিন্দুত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যায় কিনা যাচাই কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুত্রয়ঃ A(1,2), B(-3,5) ও C(5,-1)
এখন,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-3-1)2+(5-2)2}
=√{(-4)2+32}
=√(16+9)
=√25
=5 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(5+3)2+(-1-5)2}
=√{82+(-6)2}
=√(64+36)
=√100
=10 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(5-1)2+(-1-2)2}
=√{42+(-3)2}
=√(16+9)
=√25
=5
এখানে দেখা যাচ্ছে AB+AC = 5+5 = 10 =BC
অর্থাৎ দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান কিন্তু ত্রিভুজে যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হয়।
সুতরাং, বিন্দুত্রয় দ্বারা. কোনো ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয় (যাচাই করা হলো)।
৫. মূলবিন্দু থেকে (-5,5) ও (5,k) বিন্দুদ্বয় সমদূরবর্তী হলে k এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মূলবিন্দু (0,0) থেকে (-5,5) বিন্দুর দূরত্ব
=√{(-5-0)2+(5-0)2}
=√{(-5)2+52}
=√(25+25)
=√50
=5√2 একক
আবার,
মূলবিন্দু (0,0) থেকে (5,k) বিন্দুর দূরত্ব
=√{(5-0)2+(k-0)2}
=√(52+k2)
প্রশ্নানুসারে,
√(52+k2)= 5√2
বা, 25+k2 = 50 [বর্গ করে]
বা, k2=25
বা, k =± 5 (Ans.)
৬. দেখাও যে, A(2,2), B(-2,-2) এবং C(-2√3,2√3) একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। এর পরিসীমা তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(2,2), B(-2,-2) এবং C(-2√3,2√3)
এখানে,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2-2)2+(-2-2)2}
=√{(-4)2+(-4)2}
=√(16+16)
=√32
=√16.2
=4√2 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2√3+2)2+(2√3+2)2}
=√{(12-8√3+4)+(12+8√3+4)}
=√(12-8√3+4+12+8√3+4)
=√32
=4√2
AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2√3-2)2+(2√3-2)2}
=√(12+8√3+4)+(12-8√3+4)}
=√(12+8√3+4+12-8√3+4)
=√32
=4√2
দেখা যাচ্ছে, AB=BC=AC=4√2
অর্থাৎ, A, B, C বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু (দেখানো হলো)
ত্রিভুজটির পরিসীমা
=AB+BC+AC
=4√2+4√2+4√2
=12√2
=16.971 একক (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
৭. দেখাও যে, A(-5,0), B(5,0), C(5,5) ও D(-5,5) একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি বিন্দু।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে A(-5,0), B(5,0), C(5,5) ও D(-5,5)
তাহলে,
AB
=√{(5+5)2+(0-0)2}
=√(102+0)
=√100
=10 একক
BC
=√{(5-5)2+(5-0)2}
=√(02+52)
=√25
=5 একক
CD
=√{(-5-5)2+(5-5)2}
=√{(-10)2+02}
=√(100+0)
=√100
=10 একক
এবং DA
=√{(-5+5)2+(0-5)2}
=√{02+(-5)2}
=√25
=5 একক
আবার,
কর্ণ AC
=√{(-5-5)2+(5-0)2}
=√{(-10)2+52}
=√(100+25)
=√125
=5√5
এবং কর্ণ BD
=√{(-5-5)2+(5-0)2}
=√{(-10)2+52}
=√(100+25)
=√125
=5√5
অর্থাৎ আমরা পেলাম, AB = CD = 10 একক; BC = DA = 5 একক এবং কর্ণ AC = কর্ণ BD.
অতএব, A,B,C,D বিন্দু চারটি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
৮. A(-2,-1), B(5,4), C(6,7) ও D(-1,2) দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র না সামন্তরিক তা নির্নয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(-2,-1), B(5,4), C(6,7) এবং D(-1,2)
তাহলে ABCD চতুর্ভুজে
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= √{(5+2)2+(4+1)2}
=√(72+52)
=√(49+25)
=√74 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(6-5)2+(7-4)2}
=√(12+32)
=√(1+9)
=√10 একক
CD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-1-6)2+(2-7)2}
=√{(-7)2+(-5)2}
=√(49+25)
=√74 একক
AD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-1+2)2+(2+1)2}
=√(12+32)
=√(1+9)
=√10
AC কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√{(6+2)2+(7+1)2}
=√(82+82)
=√(64+64)
=√128
=8√2 একক
BD কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√{(-1-5)2+(2-4)2}
=√{(-6)2+(-2)2}
=√(36+4)
=√40
=2√10 একক
এখানে, AB=CD এবং BC=AD। কিন্তু কর্ণ AC ≠ কর্ণ BD।
অতএব, A, B, C, D দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি সামন্তরিক।
৯. A(10,5), B(7,6) ও C(-3,5) বিন্দুগুলোর মধ্যে কোন বিন্দুটি P(3,-2) এর সবচেয়ে দূরবর্তী ও কোনটি সবচেয়ে নিকটবর্তী?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(10,5), B(7,6), C(-3,5), P(3,-2)
এখানে,
AP (P থেকে A এর দূরত্ব)
=√{(3-10)2+(-2-5)2}
=√{(-7)2+(-7)2}
=√(49+49)
=√98
=9.899 একক (প্রায়)
BP (P থেকে B এর দূরত্ব)
=√{(3-7)2+(-2-6)2}
=√{(-4)2+(-8)2}
=√(16+64)
=√80
=8.944 একক (প্রায়)
CP (P থেকে C এর দূরত্ব)
=√{(3+3)2+(-2-5)2}
=√{62+(-7)2}
=√ (36+49)
=√85
=9.220 একক (প্রায়)
তাহলে, P বিন্দুর সবচেয়ে নিকটবর্তী বিন্দু হলো B ও সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দু হলো A.
১০. P(x,y) বিন্দু থেকে y অক্ষের দূরত্ব এবং Q(3,2) বিন্দুর দূরত্ব সমান। প্রমাণ কর যে, y2-4y-6x+13=0.
সমাধানঃ
ধরি, y অক্ষের উপর যে কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(0,y)
এখন, P(x,y) ও A(0,y) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব PA
=√{(0-x)2+(y-y)2}
=√{(-x)2+02}
=√x2
=x একক
এবং, P(x,y) ও Q(3,2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ
=√{(3-x)2+(2-y)2}
=√{(9-6x+x2+(4-4y+y2)}
=√(9-6x+x2+4-4y+y2)
=√(x2+y2-6x-4y+13)
প্রশ্নানুসারে,
PQ = PA
বা, √(x2+y2-6x-4y+13) = x
বা, x2+y2-6x-4y+13 = x2
বা, y2-4y-6x+13 = 0 (প্রমাণিত)
১১. ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুসমূহ A(2,-1), B(-4,2), C(2,5)। ত্রিভুজটির মধ্যমা AD এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(2,-1), B(-4,2), C(2,5)
এখন, ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা বলে D বিন্দুর স্থানাঙ্ক AB এর উপর এবং D, BC কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অতএব, D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4+2/2, 2+5/2) = (-1, 7/2)
তাহলে,
AD এর দৈর্ঘ্য
=√{(2+1)2+(-1-7/2)2}
=√{9+(-9/2)2}
=√(9+81/2)
=√(117/4)
=√117/2
=3√13/2
=3/2.√13 একক (Ans.)
.png)
.png)
0 Comments