SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.2 Hand Note Part 02 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

আজকের আর্টিকেলে আমি নবম ও দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত এর ১.২ অধ্যায় এর অনুশীলনীর সকল অংকের সমাধান দিয়ে দেবো। যদিও এই হ্যান্ড নোটটি বেশি কয়েকটি পার্ট করে বিভক্ত করা হয়েছে। 

SSC higher math solution pdf, ssc higher math note book, এসএসসি উচ্চতর গণিত সমাধান, উচ্চতর গণিত ফাংশন, সেট ও ফাংশন উচ্চতর গণিত, অন্বয় ও ফাংশন। 

ফাংশন : SSC Higher Math BD-Chapter 1.2 (9-13)

ফাংশনঃ অন্বয় ও ফাংশন, অন্বয়ের ডোমেন, অন্বয়ের সদস্য, অন্বয়ের রেঞ্জ, ডোমেন, রেঞ্জ, বিপরীত অন্বয়। 

৯. F(x)=√(x-1) দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের জন্য

 

ক) F(1), F(5) এবং F(10) নির্ণয় কর।

খ) F(a2+1) নির্ণয় কর যেখানে a∈R

গ) F(x)=5 হলে, x নির্ণয় কর।

ঘ) F(x)=y হলে, x নির্ণয় কর যেখানে y≥0।

সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)

∴ F(1)=√(1-1)=√0=0

F(5)=√(5-1)=√4=2

F(10)=√(10-1)=√9=3

(খ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)

F(a2+1)= √(a2+1-1)= √a2=।a।

(গ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=5

∴ √(x-1)=5

বা, x-1=25 [বর্গ করে]

বা, x=25+1

বা, x=26

(ঘ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=y

∴ √(x-1)=y

বা, x-1=y2 [বর্গ করে]

বা, x=1+y2

১০. F : R -àR, F(x)=x3 ফাংশনের জন্য

ক) ডোম F এবং রেঞ্জ F নির্ণয় কর।

খ) দেখাও যে, F এক-এক ফাংশন।

গ) F-1 নির্ণয় কর।

ঘ) দেখাও যে, F-1 একটি ফাংশন।

সমাধানঃ

ক) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x3

x এর যে সকল বাস্তব মানের জন্য F(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে সেগুলো F(x) এর ডোমেন হবে।

∴ ডোম F=R

আবার, x এর বাস্তব মানের জন্য y বা x3 ও বাস্তব হবে।

সুতরাং রেঞ্জ F=R.    

খ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x3

ধরি, x1, x2 ∈ ডোম F

∴ F(x1)=F(x2)

বা, x13=x23

বা, x1=x2

সুতরাং, F এক-এক ফাংশন (দেখানো হলো)

গ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x3

ধরি, F(x)=y

বা, x=F-1(y)

এখন, y=x3

বা, x3=y

বা, x=y1/3

∴ F-1(y)=y1/3

বা, F-1(x)=x1/3

ঘ) গ হতে পাই, F-1(x)=x1/3

এখানে, F-1(x) এর ডোম =R এবং x এর সকল বাস্তক মানের জন্য F-1(x)=x1/3 এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।

∴ F-1(x) একটি ফাংশন (দেখানো হলো)

১১. ক) f : R à R একটি ফাংশন যা f(x)=ax+b; a,b ∈ R দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

খ) f : [0,1]à[0,1]ফাংশনটি f(x)=√(1-x2) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে, f(x)=ax+b

ধরি, x1, x2 ∈ ডোম f

এখন, f(x1)=f(x2) এর জন্য f এক-এক ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি x1=x2 হয়।

এখন, f(x1)=ax1+b এবং f(x2)=ax2+b

∴ f(x1)=f(x2)

বা, ax1+b= ax2+b

বা, ax1=ax2

বা, x1=x2

অতএব, প্রদত্ত ফাংশন এক-এক ফাংশন।

এখন ধরি, y=f(x)=ax+b

বা, y=ax+b

বা, ax=y-b

            y-b

বা, x=------------

              a

এখন, f(x)=ax+b

       y-b             y-b

∴ f(--------)=a.---------+b

         a                 a

            =y-b+b

            =y

            =f(x)

অতএব, ফাংশটি অনটু বা সার্বিক।

(খ) দেওয়া আছে, f(x)= √(1-x2)

তাহলে, f(a)= √(1-a2) এবং f(b)=√(1-b2)

যদি f(a)=f(b) হয়, তবে

√(1-a2)= √(1-b2)

বা, 1-a2=1-b2

বা, -a2=-b2

বা, a2=b2

বা, a=b

অতএব, ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

আবার ধরি, y=f(x)=√(1-x2)

বা, y2=1-x2

বা, x2=1-y2

বা, x=√(1-y2)

এখন, f(x)=√(1-x2)

f(√{1-y2})=√[1-{√(1-y2)}2]

          =√{1-(1-y2)}

          =√(1-1+y2)

          =√y2

          =y

          =f(x)

∴ ফাংশনটি সার্বিক বা অনটু।  

১২. ক) যদি f : RàR এবং g : RàR ফাংশনদ্বয় f(x)=x3+5 এবং g(x)=(x-5)1/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে দেখাও যে, g=f-1।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=x3+5 এবং g(x)=(x-5)1/3

ধরি, y=f(x)=x3+5

বা, y=x3+5   এবং y=f(x)

বা, x3=y-5      বা, x=f-1(y)…….(i)

বা, x=(y-5)1/3……(ii)

(i) ও (ii) হতে,

f-1(y)=(y-5)1/3

বা, f-1(x)=(x-5)1/3

বা, f-1(x)=g(x) [দেওয়া তথ্য হতে]

বা, g=f-1 (দেখানো হলো)

খ) যদি f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে y=f-1(x) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4

ধরি, a=f(x)=5x-4

বা, a=5x-4   অথবা, a=f(x)

বা, 5x=a+4      বা, x=f-1(a)…..(i)

           a+4

বা, x=---------- …..(ii)

             5

(i) ও (ii) হতে পাই,

              a+4

f-1(a)= -------------

                5

                  x+4

বা, f-1(x)=-------------

                    5

                    x+4

∴ y=f-1(x)=---------

                      5

১৩. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।

ক) S={(x,y) : 2x-y+5=0}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

2x-y+5=0

বা, y=2x+5 থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	-1
y	5	7	3

∴ L={(0,5),(1,7),(-1,3),(2,9),(-2,1)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

খ) S={(x,y) : x+y=1}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x+y=1

বা, y=1-x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	-2
y	1	0	3

∴ L={(0,1),(1,0),(-2,3)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

গ) S={(x,y) : 3x+y=4}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

3x+y=4

বা, y=4-3x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	2
y	4	1	-2

∴ L={(0,4),(1,1),(2,-2)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

ঘ) S={(x,y) : x=-2}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x=-2 তে y যুক্ত কোনো প্পদ নেই। y এর মান যাই হোক না কেন x এর মান সর্বদাই -2. S অন্বয়ের লেখচিত্র হলো y অক্ষের সমান্তরাল রেখা যা মূলবিন্দু হতে 2 একক বামে অবস্থিত।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল রেখার ওপর অসংখ্য বিন্দু আছে। সুতরাং এটি একটি ফাংশন নয়।

বি. দ্র. এখানে আমি অনুশীলনীর সমাধানগুলোর জন্য হ্যান্ডনোটটি অনলাইন থেকে সংগ্রহ করেছি। আশা করবো সবাই সহজেই বুঝতে পারবেন।