SSC Higher Math Chapter 11.2 ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.২ হ্যান্ড নোট পার্ট ২
আজকের আর্টিকেলে আমি ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত এর ১১.২ অধ্যায় এর ৬ নং থেকে ১০নং পর্যন্ত সমাধান করে দিয়েছি আলহামদুলিল্লাহ। যদিও নোটটা অনলাইন থেকে সংগ্রহ করা হয়েছে।
SSC Higher Math Chapter 11.2 ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.২ হ্যান্ড নোট পার্ট ১
৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিতের ১১.২ অধ্যায় এর প্রথম অংশ দেখতে = ক্লিক করুন এখানে
উপরের দেওয়া লিংকটিতে ক্লিক করলেই আপনি আগের অংশটি দেখতে পারবেন ইনশাআল্লাহ।
১১.২ অধ্যায় এর ৬নং থেকে ১০নং পর্যন্ত অংকগুলো
আগের পার্ট এ উচ্চতর গণিতের ১১.২ অধ্যায় এর ১নং থেকে ৪নং পর্যন্ত সমাধান করে দেওয়া ছিল। এখানে বাকিগুলো দেওয়া হয়েছে।
৬. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(-2,1), B(10,6) এবং C(a,-6)। AB=BC হলে a এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় কর। a এর মানের সাহায্যে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুসমূহ হলোঃ A(-2,1), B(10,6) এবং C(a,-6)
তাহলে,
AB
=√{(10+2)2+(6-1)2}
=√(122+25)
=√(144+25)
=√169
=13 একক
এবং
BC
=√{(a-10)2+(-6-6)2}
=√{(a2-2.a.10+102+(-12)2} [সূত্রমতে]
=√(a2-20a+100+144)
=√(a2-20a+244)
প্রশ্নানুসারে,
13 = √(a2-20a+244)
বা, 169 = a2-20a+244 [বর্গ করে]
বা, a2-20a+244-169 = 0
বা, a2-20a+75 = 0
বা, a2-15a-5a+75 = 0
বা, a(a-15)-5(a-15) = 0
বা, (a-5)(a-15) = 0
বা, a-5 = 0 অথবা, a-15 = 0
বা, a = 5 বা, a = 15
অতএব, a এর সম্ভাব্য মানসমূহঃ 5, 15 (Ans.)
যখন a=5, তখন বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
△ABC এর ক্ষেত্রফল | ||||
= ½ | | | -2 5 10 -2 1 -6 6 1 | | | বর্গ একক |
= ½ ✕(12+30+10-5+60+12) বর্গ একক | ||||
= ½ ✕ (124-5) বর্গ একক | ||||
= ½ ✕ 119 বর্গ একক | ||||
= 119/2 বর্গ একক | ||||
= 59½ বর্গ একক (Ans.) |
যখন a=15, তখন বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
△ABC এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | -2 15 10 -2 1 -6 6 1 | | | বর্গ একক |
| |
= ½ ✕(12+90+10-15+60+12) বর্গ একক | ||||||
= ½ ✕ (184-15) বর্গ একক |
| |||||
= ½ ✕ 169 বর্গ একক |
| |||||
= 169/2 বর্গ একক |
| |||||
= 84½ বর্গ একক (Ans.) |
| |||||
৭. A, B, C তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(a,a+1), B(-6,-3) এবং C(5,-1)। AB এর দৈর্ঘ্য AC এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হলে a এর সম্ভাব্য মান এবং ABC ত্রিভুজটির বৈশিষ্ট বর্ণনা কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত স্থানাঙ্ক বিন্দুসমূহঃ A(a,a+1), B(-6,-3) এবং C(5,-1)।
তাহলে,
AB
=√{(-6-a)2+(-3-a-1)2}
=√{(-6-a)2+(-4-a)2}
=√{(-6)2-2.(-6).a+a2+(-4)2-2.(-4).a+a2}
=√(36+12a+a2+16+8a+a2)
=√(2a2+20a+52) একক
AC
=√{(5-a)2+(-1-a-1)2}
=√{(5-a)2+(-2-a)2}
=√{52-2.5.a+a2+(-2)2-2.(-2).a+a2}
=√(25-10a+a2+4+4a+a2)
=√(2a2-6a+29) একক
প্রশ্নানুসারে,
AB=2AC
বা, √(2a2+20a+52) = 2√(2a2-6a+29)
বা, 2a2+20a+52 = 4(2a2-6a+29) [বর্গ করে]
বা, 2a2+20a+52 = 8a2-24a+116
বা, 2a2+20a+52-8a2+24a-116 = 0
বা, -6a2+44a-64 = 0
বা, 6a2-44a+64 = 0
বা, 2(3a2-22a+32) = 0
বা, 3a2-22a+32 = 0
বা, 3a2-6a-16a+32 = 0
বা, 3a(a-2)-16(a-2) = 0
বা, (a-2)(3a-16) = 0
বা, a-2 = 0 অথবা, 3a-16 = 0
বা, a = 2 বা, 3a = 16
বা, a = 16/3
অতএব, a এর সম্ভাব্য মান 2 এবং 16/3 (Ans.)
এখন,
a=2 হলে,
AB =√(2.22+20.2+52) একক = √(8+40+52) একক =√100 একক = 10 একক
AC =√(2.22-6.2+29) একক = √(8-12+29) একক =√25 একক = 5 একক
BC
=√{(5+6)2+(-1+3)2}
=√(121+4)
=√125
=5√5 একক
দেখা যাচ্ছে, AB2+AC2 = 102 + 52 = 100+25 = 125 =(5√5)2 = BC2
অতএব, পীথাগোরাস এর সূত্র অনুসারে △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, BC অতিভুজ এবং ∠BAC সমকোণ।
আবার,
a=16/3 হলে,
AB
=√{2.(16/3)2+20.(16/3)+52) একক
= √(2.(256/9)+320/3+52) একক
=√{(512+960+468)/9} একক
= √(1940/9) একক
=√1940/3
AC
=√(2.(16/3)2-6.(16/3)+29) একক
= √(512/9-32+29) একক
=√{(512-288+261)/9} একক
= √485/3 একক
এবং BC = 5√5 একক
যেহেতু, AB ≠ AC ≠ BC সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
৮. নিন্মোক্ত চতুর্ভুজসমূহের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর [পদ্ধতি ২ ব্যবহার কর]:
ক) (0,0), (-2,4), (6,4), (4,1)
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,
A(0,0), B(4,1), C(6,4), D(-2,4)
বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
ABCD এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | 0 4 6 -2 0 0 1 4 4 0 | | | বর্গ একক |
| |
= ½ ✕(0+16+24+0-0-6+8-0) বর্গ একক | ||||||
= ½ ✕ (48-6) বর্গ একক |
| |||||
= ½ ✕ 42 বর্গ একক |
| |||||
= 21 বর্গ একক (Ans.) |
| |||||
খ) (1,4), (-4,3), (1,-2), (4,0)
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,
A(1,4), B(-4,3), C(1,-2), D(4,0)
বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
ABCD এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | 1 -4 1 4 1 4 3 -2 0 4 | | | বর্গ একক |
| |
= ½ ✕(3+8+0+16+16-3+8-0) বর্গ একক | ||||||
= ½ ✕ (51-3) বর্গ একক |
| |||||
= ½ ✕ 48 বর্গ একক |
| |||||
= 24 বর্গ একক (Ans.) |
| |||||
গ) (0,1), (-3,-3), (4,3), (5,1)
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,
A(-3,-3), B(5,1), C(4,3), D(0,1)
বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
ABCD এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | -3 5 4 0 -3 -3 1 3 1 -3 | | | বর্গ একক |
| |
= ½ ✕(-3+15+4+0+15-4-0+3) বর্গ একক | ||||||
= ½ ✕ (37-7) বর্গ একক |
| |||||
= ½ ✕ 30 বর্গ একক |
| |||||
= 15 বর্গ একক (Ans.) |
| |||||
৯. দেখাও যে, A(2,-3), B(3,-1), C(2,0), D(-1,1) এবং E(-2,-1) শীর্ষবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল 11 বর্গ একক।
সমাধানঃ
প্রদত্ত বিন্দুগুলো A(2,-3), B(3,-1), C(2,0), D(-1,1) এবং E(-2,-1) শীর্ষবিশিষ্ট বহুভুজটি পঞ্চভুজ ABCDE এর ক্ষেত্রফল।
অতএব, বিন্দুসমূকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,
ABCDE এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | 2 3 2 -1 -2 2 -3 -1 0 1 -1 -3 | | | বর্গ একক | ||
= ½ ✕(-2+0+2+1+6+9+2-0+2+2) বর্গ একক |
| |||||
= ½ ✕ (24-2) বর্গ একক |
| |||||
= ½ ✕ 22 বর্গ একক |
| |||||
= 11 বর্গ একক (দেখানো হলো) |
| |||||
১০. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ A(3,4), B(-4,2), C(6,-1) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত। ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হলে p এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, চতুর্ভুজের শীর্ষ A(3,4), B(-4,2), C(6,-1) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।
অতএব, বিন্দুসমূকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,
ABCD এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | 3 -4 6 p 3 4 2 -1 3 4 | | | বর্গ একক |
| |
= ½ ✕(6+4+18+4p+16-12+p-9) বর্গ একক | ||||||
= ½ ✕ (23+5p) বর্গ একক |
| |||||
আবার, A, B, C ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,
ABC এর ক্ষেত্রফল |
| |||||
= ½ | | | 3 -4 6 3 4 2 -1 4 | | | বর্গ একক |
| |
= ½ ✕(6+4+24+16-12+3) বর্গ একক | ||||||
= ½ ✕ (53-12) বর্গ একক |
| |||||
= 41/2 বর্গ একক |
| |||||
প্রশ্নানুসারে,
½ ✕(23+5p) =2✕ 41/2
বা, 23+5p = 41✕2
বা, 5p+23 = 82
বা, 5p = 82-23
বা, 5p =59
বা, p = 59/5 (Ans.)
৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.২ অধ্যায় এর পার্ট-১
এই অধ্যায়ের দ্বিতীয় অংশটি দেখার জন্য ক্লিক করুন = পার্ট-১
উপসংহার জেনে নিন
এখানে ও আগের আর্টিকেলে বাকি অংশগুলো দেওয়া হয়েছে আলহামদুলিল্লাহ। আশা করি উচ্চতর গণিত এর এই অধ্যায় অর্থ্যৎ ১১.২ অধ্যায় এর সমাধান পাবেন আর কোন সমস্যা থাকবে না এই অধ্যায়টি নিয়ে।
Source:
https://www.schoolmathbd.com/2021/11/coordinate-geometry-ssc-higher-math-bd-chapter-11.2-part.html
0 Comments