৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ২

SSC Higher Mathematics ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায়ের হ্যান্ড নোট

সরলরেখার সমীকরণ-SSC Higher Math BD-Chapter 11.4 (14-24) Part-2 এখানে দিয়ে দিচ্ছি এবং পার্ট ২ পরে কোন আর্টিকেলে দিয়ে দেবো ইনশাআল্লাহ। 

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ১

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ২

উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর পিডিএফ 

৯ম ও ১০ম শ্রেণির ১১.৪ সহ ১১.১, ১১.২, ১১.৩, ১১.৪ সকল অধ্যায় এর একসাথে নোটগুলোর পিডিএফ নিচের লিংক থেকে ডাউনলোড করে নিতে পারবেন। 

পিডিএফ ডাউনলোড করুন = ক্লিক করুন এখানে   

৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট

নিচে আমি ১৪নং প্রশ্ন থেকে ২৪ নং প্রশ্ন এবং বাকি অংশ এর সমাধান দিয়ে দিয়েছি। আশা করবো সবার উপকারে আসবে। 

১৪. (k,0) বিন্দুগামী ও k ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ k এর মাধ্যমে নির্ণয় কর। যদি রেখাটি (5,6) বিন্দুগামী হয় তবে k এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(k,0) বিন্দুগামী ও K ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-0)=k(x-k)  [যেহেতু, y-y₁=m(x-x₁)]

বা, y=k(x-k) (Ans.)

যদি রেখাটি (5,6) বিন্দুগামী হয়, তাহলে,

6 = k(5-k)

বা, 6 =5k-k²

বা, k²-5k+6 = 0

বা, k²-2k-3k+6=0

বা, k(k-2)-3(k-2) = 0

বা, (k-3)(k-2) = 0

বা, k-3 = 0       অথবা, k-2 = 0

বা, k=3             বা, k = 2

অতএব, k = 2,3 (Ans.)

১৫. (k²,2k) বিন্দুগামী এবং ¹/_k ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। যদি রেখাটি (-2,1) বিন্দু দ্বারা অতিক্রম করে তবে k এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(k²,2k) বিন্দুগামী এ্বং ¹/_K ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-2k)=¹/_k(x-k²)  [যেহেতু, y-y₁=m(x-x₁)]

বা, y-2k = ^x/_k-k

বা, y = ^x/_k-k+2k

বা, y = ^x/_k+k (Ans.)

যদি রেখাটি (-2,1) বিন্দুগামী হয়, তাহলে,

1 = -²/_k+k

বা, k =-2+k² [উভয়পক্ষকে k দ্বারা গুণ করে]

বা, k²-k-2 = 0

বা, k²-2k+k-2 = 0

বা, k(k-2)+1(k-2) = 0

বা, (k+1)(k-2)=0

বা, k+1 = 0      অথবা, k-2 = 0

বা, k = -1         বা, k = 2

অতএব,

k  এর সম্বাব্য মান -1,2 (Ans.)

১৬. একটি রেখা A(-2,3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল ½ । রেখাটি যদি (3,k) বিন্দু দিয়েও যায় তবে k এর মান কত?

সমাধানঃ

A(-2,3) বিন্দুগামী ও ½ ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-3) = ½ (x+2)

বা, y = ^x/₂ +1 +3

বা, y = ^x/₂ +4

রেখাটি (3,k) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে,

বা, k = ³/₂ +4

বা, k = ¹¹/₂ (Ans.)

১৭. 3 ঢালবিশিষ্ট একটি রেখা A(-1,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং  x অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুগামী অন্য একটি রেখা  x অক্ষকে C(2,0) বিন্দুতে ছেদ করে।

ক) AB ও AC রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

A(-1,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং 3 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-6) = 3(x+1)   [যেহেতু, y-y₁=m(x-x₁)]

বা, y = 3x+3+6

বা, y = 3x+9

রেখাটি X অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে, B বিন্দুতে কোটি, y = 0

বা, 3x+9 = 0

বা, x = -3

অতএব, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3,0)

তাহলে,

AB রেখার সমীকরণ,

x+1    -1+3

---- =-------

y-6       6-0

বা, (y-6)2 = (x+1)6

বা, 2y-12 = 6x+6

বা, 2y = 6x+6+12

বা, 2y = 6x+18

বা, y = 3x+9 (Ans.)

এবং, AC রেখার সমীকরণ,

x+1    -1-2

---- =-------

y-6       6-0

বা, (y-6).(-3) = (x+1)6

বা, -3y+18 = 6x + 6

বা, -3y =6x+6-18

বা, -3y = 6x-12

বা, y =-2x+4 (Ans.)

খ) △ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-1  -3  2  -1   6   0  0   6	|	বর্গ একক
= ½ ✕ (0+0+12+18-0-0) বর্গ একক
= ½ ✕30 বর্গ একক
= 15 বর্গ একক (Ans.)

১৮. দেখাও যে, y-2x+4=0 এবং 3y=6x+10 রেখাদ্বয় পরস্পপর ছেদ করে না। রেখাদ্বয়ের চিত্র এঁকে ব্যাখ্যা কর কেন সমীকরণ দুইটির সমাধান নাই।

সমাধানঃ

y-2x+4=0

বা, y = 2x-4……..(i)

এবং

3y=6x+10

বা, y = 2x+¹⁰/₃……..(ii)

যেহেতু (i) ও (ii) উভয় রেখার ঢাল m₁ = m₂ = 2 এবং y অক্ষের কর্তিত অংশ যথাক্রমে -4 ও ¹⁰/₃ অসমান। সুতরাং রেখাদ্বয় পরস্পপর সমান্তরাল এবং পরস্পর ছেদ করে না।

এখন,

y = 2x-4

বা, 2x -4 =0 [y=0 ধরে]

বা, 2x = 4

বা, x = 2

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 0)

আবার,

y = 2x-4

বা, y =-4 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-4)

এবং,

y = 2x+¹⁰/₃

বা, 2x +¹⁰/₃ =0 [y=0 ধরে]

বা, 2x = -¹⁰/₃

বা, x = -¹⁰/₆ =-⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₂ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁵/₃, 0)

আবার,

y = 2x+¹⁰/₃

বা, y =¹⁰/₃ [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₂ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, ¹⁰/₃)

ছক কাগজে A₁, B₁, A₂ ও B₂ বিন্দু স্থাপন করে রেখাদ্বয় আঁকা হলোঃ

সুতরাং, উপরিক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে, রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ তাদের কোনো ছেদবিন্দু নেই। তাই প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সমাধান নেই।

১৯. y=x+5, y=-x+5 এবং y=2 সমীকরণ তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে। ত্রিভুজটির চিত্র আঁক এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে,

y=x+5…..(i)

y=-x+5…..(ii)

y=2……(iii)

এখন,

y=x+5

বা, y=5 যখন x=0

তাহলে, (i) নং রেখা X অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে ছেদ করে।

y=x+5

বা, 0 = x+5 যখন y = 0

বা, x = -5

তাহলে, (i) নং রেখা Y অক্ষকে (-5,0) বিন্দুতে ছেদ করে।

আবার,

y=-x+5

বা, y = 5 যখন x=0

তাহলে, (ii) নং রেখা X অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে ছেদ করে।

y = -x+5

বা, 0 = -x +5 যখন y = 0

বা, x = 5

তাহলে, (ii) নং রেখা Y অক্ষকে (5,0) বিন্দুতে ছেদ করে।

এবং

y=2

অর্থাৎ, এটি হলো. x অক্ষের সমান্তরাল রেখা. যা Y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে।

উপরিউক্ত তথ্যের আলোকে রেখাগুলো গ্রাফ কাগজে আঁকা হলোঃ

চিত্র থেকে (i), (ii) ও (iii) নং রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ABC যার A(0,5), B(-3,2), C(3,2) এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,2).

এখন, △ABC এর ভূমি

BC=BD+DC=3+3=6 একক।

উচ্চতা AD=OA-OD=5-2=3 একক।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= ½✕BC✕AD বর্গ একক

= ½✕6✕3 বর্গ একক

=9 বর্গ একক (Ans.)

২০. y=3x+5, এবং 3x+y=10 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। রেখাদ্বয়ের চিত্র আঁক এবং X অক্ষ সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

y=3x+4

বা, 3x-y+4=0……..(i)

এবং,

3x+y=10

বা, 3x+y-10=0…….(ii)

প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে (i) ও (ii) নং সমীকরণের সমাধান।

(i)+(ii)---à

6x-6=0

বা,6x=6

বা, x=1

এখন, x=1, (i) নং এ বসিয়ে,

3.1-y+4=0

বা, -y+7=0

বা, y=7

তাহলে, রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,7)

(i) নং রেখার উপর একটি বন্দু (1,7) এবং অপর একটি বিন্দু (-⁴/₃,0) [(i) নং এ y=0 বসিয়ে]

(ii) নং রেখার উপর একটি বন্দু (1,7) এবং অপর একটি বিন্দু (¹⁰/₃,0) [(ii) নং এ y=0 বসিয়ে]

এখন প্রাপ্ত বিন্দুগুলো গ্রাফ কাগজে বসিয়ে ত্রিভুজটি আঁকি।

ABC ত্রিভুজের ভূমি AC=√{(-⁴/₃-¹⁰/₃)²+(0-0)²} একক

            =√{(-¹⁴/₃)²} একক

            =¹⁴/₃ একক

এবং উচ্চতা = 7 একক।

অতএব,

△ABC এর ক্ষেত্রফল

= ½ ✕ ¹⁴/₃ ✕ 7 বর্গ একক

= ⁴⁹/₃ বর্গ একক

=16¹/₃ বর্গ একক (Ans.)

২১. প্রমাণ কর যে, 2y-x=2, y+x=7 এবং y=2x-5 রেখা তিনটি সমবিন্দু (concurrent) অর্থাৎ একই বিন্দু দ্বারা অতিক্রম করে।

সমাধানঃ

প্রদত্ত রেখাত্রয়ঃ

2y-x=2……..(i)

y+x=7

বা, 2y+2x=14……(ii)

এবং

y=2x-5

বা, y-2x=-5……(iii)

(i)-(ii)----à করে পাই,

-3x=-12

বা, x=4

x=4 (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2y-4=2

বা, 2y = 2+4

বা, 2y = 6

বা, y = 3

অর্থাৎ, (i) ও (ii) রেখার ছেদবিন্দু (x,y) = (4,3)

প্রদত্ত রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে (4,3) বিন্দু দ্বারা (iii) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

সুতরাং (iii) নং এর বামপক্ষ = 3-2.4 = 3- 8 = - 5 = ডানপক্ষ।

সুতরাং, প্রদত্ত রেখাত্রয় সমবিন্দু (প্রমাণিত)।

২২. y=x+3, y=x-3, y=-x+3 এবং y=-x-3 একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটি আঁক এবং ক্ষেত্রফল তিনটি ভিন্ন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

y=x+3------(i)

বা, x=-3 যখন y=0 এবং y=3 যখন x=0

অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (-3,0) বিন্দুতে ছেদ করে

এবং Y অক্ষকে (0,3) বিন্দুতে ছেদ করে।

y=x-3-------(ii)

বা, x=3 যখন y=0 এবং y=-3 যখন x=0

অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (3,0) বিন্দুতে ছেদ করে

এবং Y অক্ষকে (0,-3) বিন্দুতে ছেদ করে।

y=-x+3------(iii)

বা, x=3 যখন y=0 এবং y=3 যখন x=0

অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (3,0) বিন্দুতে ছেদ করে

এবং Y অক্ষকে (0,3) বিন্দুতে ছেদ করে।

y=-x-3------(iv)

বা, x=-3 যখন y=0 এবং y=-3 যখন x=0

অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (-3,0) বিন্দুতে ছেদ করে

এবং Y অক্ষকে (0,-3) বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন প্রাপ্ত তথ্যানুযায়ী (i), (ii), (iii) ও (iv) নং রেখাকে গ্রাফ কাগজে অঙ্কন করি।

উৎপন্ন চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(3,0), B(0,3), C(-3,0) এবং D(0,-3)

চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ

প্রথম পদ্ধতিঃ

AC কর্ণ ABCD কে △ABC ও △ACD তে বিভক্ত করে।

এখন,

AB=√{(3-0)²+(0-3)²}=√(9+9)=3√2 একক

BC=√{(0+3)²+(3-0)²}=√(9+9)=3√2 একক

CD=√{(-3-0)²+(0+3)²}=√(9+9)=3√2 একক

AD=√{(3-0)²+(0+3)²}=√(9+9)=3√2 একক

AC=√{(3+3)²+(0+0)²}=√(6)²=6 একক

△ABC এর পরিসীমা = AB+BC+CA=3√2+3√2+6=6√2+6=6(√2+1)

অতএব,  △ABC এর অর্ধপরিসীমা = 3(√2+1)

△ACD এর পরিসীমা = AB+BC+CA=3√2+3√2+6=6√2+6=6(√2+1)

অতএব,  △ACD এর অর্ধপরিসীমা = 3(√2+1)

△ABC এর ক্ষেত্রফল = √{s(s-AB)(s-BC)(s-AC) বর্গ একক

=√[3(√2+1){ 3(√2+1)- 3√2}{ 3(√2+1)- 3√2}{ 3(√2+1)- 6}] বর্গ একক

=√[3(√2+1){(3)(3)(3√2-3)] বর্গ একক

=√[(3√2+3){(3)(3)(3√2-3)] বর্গ একক

=√[{(3√2)²-3²}(3)(3)] বর্গ একক

=√{(18-9)(3)(3)} বর্গ একক

=√{(9)(3)(3)} বর্গ একক

=√81 বর্গ একক

=9 বর্গ একক

অনুরুপভাবে △ACD এর ক্ষেত্রফল = 9 বর্গ একক

তাহলে, ABCD এর ক্ষেত্রফল = 9+9 বর্গ একক=18 বর্গ একক

দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ

১ম পদ্ধতি হতে পাই,

AB=BC=CA=DA=3√2 একক

এবং কর্ণ AC = 6 একক

আবার,

কর্ণ BD = √{(0-0)²+(3+3)²}=√6² = 6 একক

যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের সবগুলো বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ও কর্ণ AC=কর্ণ BD

অতএব, ABCD একটি বর্গ যার বাহুর দৈর্ঘ্য 3√2 একক

অতএব, ABCD এর ক্ষেত্রফল =(3√2)² বর্গ একক = 9✕2 বর্গ একক =18 বর্গ একক।

তৃতীয় পদ্ধতিঃ

চতুর্ভুজেটির শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(3,0), B(0,3), C(-3,0) এবং D(0,-3)

বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বেবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	3 0 -3 0 3 0 3 0 -3 0	|	বর্গ একক
= ½ (9+0+9+0-0+9+0+9) ‘’
= ½ ✕36 ‘’
=18 বর্গ একক

২৩. A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1) একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ক) BD রেখা x অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণ্য় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, B(8,8) এবং D(1,1)

BD রেখার ঢাল m হলে, tanθ = m

এখন,

m

    8-1

=------

    8-1

= ⁷/₇

=1

অতএব,

tanθ = 1

বা, tanθ = tan45⁰

বা, θ = 45⁰

অর্থাৎ, BD রেখা X অক্ষের সাথে 45⁰ কোণ উৎপন্ন করে।

খ) ABCD চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1)

তাহলে,

AB=√{(-4-8)²+(13-8)²} একক

            =√{(-12)²+5²} একক

            =√(144+25) একক

            =13 একক

BC=√{(8-13)+(8+4)} একক= √(25+144) একক=13 একক

CD=√{(13-1)²+(-4-1)²} একক=√(144+25) একক=13 একক

DA=√{(1+4)+(1-13)²} একক=√(5+144) একক=13 একক

অর্থাৎ, ABCD চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান।

এখন,

AC=√{(13+4)²+(-4-13)² একক=√{17²+(-17)²} একক=√2(17)² একক=17√2 একক

BD=√{(1-8)²+(1-8)² একক= √7²+7² একক=√2.7² একক=7√2 একক

অর্থাৎ, কর্ণ AC ≠ কর্ণ BD

চতুর্ভুজটি বাহুগুলো সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় সমান নয়।

সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।

গ)ABCD চতুর্ভুজের যে x অংশ অক্ষের সাথে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1)

বিন্দুগুলোকে XY সমতলে স্থাপন করে পাই,

চিত্র হতে, ধরি, CD রেখা ও BC রেখা X-অক্ষকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অতএব,

CD রেখার সমীকরণ

y-1      1+4         5

----- = ------ = ----

x-1       1-3       -12

বা, 5x-5=-12y+12

বা, 5x+12y=17

বা, 5x = 17 যখন y=0

বা, x = ¹⁷/₅

তাহলে E বিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁷/₅,0)

আবার BC রেখার সমীকরণ,

y-8      8+4        12

----- = ------ = ----

x-8       8-13       -5

বা, 12x-96=-5y+40

বা,12x+5y=136

বা, 12x=136 যখন y=0

বা, x=¹³⁶/₁₂

বা, x=³⁴/₃

তাহলে F বিন্দুর স্থানাঙ্ক (³⁴/₃,0)

এখন, E(¹⁷/₅,0), C(13,-4) F(³⁴/₃,0) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত

△ECF এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	17/5 13 34/3 17/5   0  -4   0    0	|	বর্গ একক
= ½ (-68/5+0+0-0+136/3-0) ‘’
= ½ (136/3-68/5) ‘’
= ½ ✕ 476/15 ‘’
=1513/15 বর্গ একক

অতএব, X-অক্ষের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল  5¹³/₁₅ বর্গ একক।

২৪. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু হলো P(5,2), Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1)

ক) PS রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, P(5,2) এবং S(-2,-1)

অতএব, PS রেখার সমীকরণঃ

x-5         y-2

----- =--------

5-(-2)   2-(-1)

      x-5      y-2

বা, ----- =------

        7         3

বা, 3x-15=7y-14

বা, 3x-7y-1=0

খ) PQRS চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

P(5,2), Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1) বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

PQRS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
= ½	|	5 -3 -2 4 5 2 2 -1 -1 2	|	বর্গ একক
= ½ (10+3+2+8+6+4+4+5) ‘’
= ½ ✕42 ‘’
= 21 বর্গ একক

তাহলে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য a = √21

অতএব,

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য

=√2a একক

=√2✕√21 একক

=√42 একক

নির্নেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √42 একক।

গ) PQRS চতুর্ভুজের যে অংশ ২য় চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, P(5,2), Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1)

বিন্দুগুলোকে ছক কাগজে স্থাপন করে পাই,

PQ রেখা Y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করেছে।

আবার QS রেখার সমীকরণ,

y-2     2+1     3

---- = ---- =----

x+3    -3+2   -1

বা, 3x+9=-y+2

বা, 3x+y=-7

বা, 3x = -7 [রেখাটি X অক্ষকে ছেদ করে বলে, y=0 ধরে]

বা, এক্স =-⁷/₃

অতএব, QS রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁷/₃,0)

এখন, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (0,0), (0,2), (-3,2) এবং (-⁷/₃,0) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলঃ

= ½	|	0 0 -3 -7/3 0 0 2  2   0   0	|	বর্গ একক
= ½ (0+0+0+0-0+6+14/3-0) ‘’
= ½ ✕ (6+14/3) ‘’
= ½ ✕ 32/3 ‘’
= 16/3 বর্গ একক

অতএব, PQRS চতুর্ভুজের যে অংশ ২য় চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল ¹⁶/₃ বর্গ একক।

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ১ 

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ২

১১.৪ অধ্যায় এর উপসংহার জেনে রাখুন 

আমি উপরে ১১.৪ অধ্যায় এর ২য় অংশ দিয়েছি। আশা করি সবাই বুঝতে পারবেন। 

Source