৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ১

SSC Higher Mathematics ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায়ের হ্যান্ড নোট

সরলরেখার সমীকরণ-SSC Higher Math BD-Chapter 11.4 (1-13) Part-1 এখানে দিয়ে দিচ্ছি এবং পার্ট ২ পরে কোন আর্টিকেলে দিয়ে দেবো ইনশাআল্লাহ। 

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ১ 

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ২

উপরের লিংক দুইটা থেকে আপনি প্রথম এবং ২য় পার্ট থেকে পুরো সমাধান জেনে নিতে পারবেন। আশা করি সবাই বুঝতে পারবেন। 

৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায়ের হ্যান্ড নোট

আমি নিচে উচ্চতর গণিত ৯ম ও ১০ম শ্রেণির ১১.৪ অধ্যায়টির সমাধান দিয়ে দিচ্ছি। 

১. A(-1,3) এবং B(2,5) হলে AB এর

(i)  দৈর্ঘ্য √13 একক

(ii) ঢাল ²/₃

(iii) সমীকরণ 2x-3y = 11

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii     খ)  i,iii    গ) ii,iii      ঘ) i,ii iii

উত্তরঃ ক

[(i) AB এর দৈর্ঘ্য =√{(2+1)²+(5-3)²}=√(9+4)= √13

(ii) AB এর ঢাল

       5-3

    =-------

       2+1

         2

    =-------

         3

(iii) AB এর সমীকরণ

     x-(-1)      y-3

    -------=--------

     -1-2       3-5

বা, (y-3).-3=2(X+1)

বা, 3y-9=2x+2

বা, 2x-3y=-9-2

বা, 2x-3y = -11 ]

২. √{s(s-a)(s-b)(s-c) এ s দ্বারা বুঝায়

ক) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল   খ) বৃত্তের ক্ষেত্রফল

গ) ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা  ঘ) বৃত্তের অর্ধ পরিধি

উত্তরঃ গ

[√{s(s-a)(s-b)(s-c) দ্বারা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ব্যঝায় যার বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য a, b, c এবং অর্ধপরিসীমা s = ^(a+b+c)/₂]

৩. নিচের চিত্র হতে উত্তর দাওঃ

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

ক) 12 বর্গ একক   খ) 15 বর্গ একক  

গ) 6 বর্গ একক      ঘ) 60 বর্গ একক  

উত্তরঃ গ

[ABC সমকোণী, তাহলে BC=√(AC²-AB²)=√(5²-3²)= √(25-9)= √16=4 একক।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= ½ ✕AB✕BC

= ½ ✕3✕4

= 6 বর্গ একক ]

৪. নিচের চিত্র হতে উত্তর দাওঃ

AB রেখার ঢাল

ক) 2    খ) -2     গ) 0     ঘ) 6

উত্তরঃ খ

[AB এর ঢাল

    1-(-3)

=--------

     1-3 

    1+3

=--------

     -2 

       4

=--------

     -2 

= -2  ]

৫. x-2y-10 = 0 ও  2x+y-3 = 0 রেখা দুইটির ঢাল দুইটির গুণফল

ক) -2    খ) 2     গ) -3     ঘ)-1

উত্তরঃ ঘ

[ x-2y-10 = 0

বা, y = ½ x – 5 রেখার ঢাল m₁ = ½

আবার,

2x+y-3 = 0

বা, y = -2x+3 রেখার ঢাল m₂=-2

অতএব, ঢালদ্বয়ের গুণফল m₁m₂= ½ ✕ (-2) = -1 ]

৬. y=^x/₂+2 এবং 5x-10y+20 = 0  সমীকরণদ্বয়

ক) দুটি ভিন্ন রেখা নির্দেশ করে    খ) একই রেখা নির্দেশ করে

গ) রেখাদ্বয় সমান্তরাল         ঘ) রেখাদ্বয় পরস্পরচ্ছেদী

উত্তরঃ খ

[y=^x/₂+2

বা, 10y = 5x+20    {10 দ্বারা গুণ করে}

বা, 5x-10y+20 = 0

অর্তায় ১ম সমীকরণ = ২য় সমীকরণ]

৭. y=x-3 এবং y=-x+3 এর ছেদবিন্দু

ক) (0,0)     খ) (0,3)     গ) (3,0)     ঘ) (-3,3)

উত্তরঃ গ

[ y=x-3…….(i)

এবং y = -x+3……(ii)

তাহলে, x-3 = -x+3

বা, 2x = 3+3 = 6

বা, x =6/2 = 3

x=3, (i) নং এ বসিয়ে

y = 3-3 = 0

অতএব, সমীকরনদ্বয়ের ছেদবিন্দু (3,0).]

৮. x=1, y=1 রেখা দুইটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক

ক) (0,1)    খ) (1,0)    গ) (0,0)     ঘ) (1,1)

উত্তরঃ ঘ

৯. x=1, y=1 রেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ক্ষেত্রটি তৈরি করে তার ক্ষেত্রফল

ক) ½ বর্গ একক   খ)1 বর্গ একক

গ) 2 বর্গ একক    ঘ) 4 বর্গ একক

উত্তরঃ খ

[x=1, y=1 রেখাদ্বয় যথাক্রমে Y ও X অক্ষের সাথে সমান্তরাল রেখা। অর্থাৎ রেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সাথে যে বর্গ ক্ষেত্র উৎপন্ন করে তার বাহুর দৈর্ঘ্য 1 একক। অতএব ক্ষেত্রফল = 1² = 1 বর্গ একক]

১০. একটি সরলরেখার সমীকরণ.নির্ণয় কর.যা (2,-1) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল 2।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ঢাল m = 2 এবং নির্দিষ্ট বিন্দু (2,-1)

অতএব, (x₁,y₁) বিন্দুগামী এবং m.ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ

y-y₁=m(x-x₁)

বা, y-(-1)  = 2(x-2)

বা, y+1 = 2x-4

বা, y =2x-5 (Ans.)

১১. নিন্মোক্ত বিন্দুসমূহ দ্বারা অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক) A(1,5), B(2,4)

সমাধানঃ

আমরা জানি, (x₁,y₁) এবং (x₂,y₂) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

x-x₁     x₁-x₂

----- = ---------

y-y₁     y₁-y₂

এখানে, (x₁,y₁)=(1,5) ও (x₂,y₂)=(2,4)

অতএব, A(1,5) ও B(2,4) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

x-1     1-2

----- = ------

y-5      5-4

      x-1      -1

বা, ----- = ------

      y-5        1

বা, x-1 = -(y-5)

বা, x-1 = -y+5

বা, -y+5=x-1

বা, -y =x-1-5

বা, -y =x -6

বা, y =-x+6 (Ans.)

খ) A(3,0), B(0,-3)

আমরা জানি, (x₁,y₁) ও (x₂,y₂) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

x-x₁     x₁-x₂

-----  = ------

y-y₁     y₁-y₂

এখানে, (x₁,y₁)=(3,0) ও (x₂,y₂)=(0,-3)

অতএব, A(3,0) ও B(0,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

x-3      3-0

----- = ------

y-0      0+3

      x-3       3

বা, ----- = ------

        y        3

বা, 3y = 3x – 9

বা, y =x-3 (Ans.)

গ) A(a,0), B(2a,3a)

আমরা জানি, (x₁,y₁) ও (x₂,y₂) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

x-x₁     x₁-x₂

----- = --------

y-y₁     y₁-y₂

এখানে, (x₁,y₁)=(a,0) ও (x₂,y₂)=(2a,3a)

অতএব, A(a,0) ও B(2a,3a) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

x-a      a-2a

-----=------

y-0      0-3a

      x-a       -a

বা, ----- = ------

        y       -3a

বা, -ya = -3ax+3a²

বা, -y = -3x+3a

বা, y=3x-3a

১২. নিন্মোক্ত প্রতিক্ষেত্রে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক) ঢাল 3 এবং y ছেদক 5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=3 এবং y এর ছেদক c=5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = 3x+5

সুতরাং, y=3x+5 (Ans.)

খ) ঢাল 3 এবং y ছেদক -5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=3 এবং y এর ছেদক c=-5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = 3x-5

সুতরাং, y=3x-5 (Ans.)

গ) ঢাল -3 এবং y ছেদক 5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=-3 এবং y এর ছেদক c=5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = -3x+5

সুতরাং, y=-3x+5 (Ans.)

ঘ) ঢাল -3 এবং y ছেদক -5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=-3 এবং y এর ছেদক c=-5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = -3x-5

সুতরাং, y=-3x-5 (Ans.)

উপরোক্ত চার রেখা একই সমতলে এঁকে দেখাও [এই রেখাসমূহের মাধ্যমে বুঝা যাবে ঢাল এবং y ছেদকের চিহ্নের জন্য রেখা কোন চতুর্ভাগে অবস্থান করবে]

সমাধানঃ

 (ক)

y=3x+5

বা, 0 = 3x+5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = -5

বা, x = -⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁵/₃,0)

আবার,

y=3x+5

বা, y = 5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)

(খ)

y=3x-5

বা, 0 = 3x-5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 5

বা, x = ⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁵/₃,0)

আবার,

y=3x-5

বা, y = -5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-5)

(গ)

y=-3x+5

বা, 0 = -3x+5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 5

বা, x = ⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₃ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁵/₃,0)

আবার,

y=-3x+5

বা, y = 5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₃ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)

(ঘ)

y=-3x-5

বা, 0 = -3x-5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = -5

বা, x = -⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁵/₃,0)

আবার,

y=-3x-5

বা, y = -5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-5)

উপরোক্ত রেখা চারটি নিচে একই সমতলে আঁকা হলোঃ

১৩. নিন্মোক্ত রেখাসমূহ x অক্ষকে ও y অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে নির্ণয় কর। তারপর রেখাসমূহ এঁকে দেখাও।

ক) y=3x-3

সমাধানঃ

y=3x-3

বা, 0 = 3x-3 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 3

বা, x = 1

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,0) (Ans.)

আবার,

y=3x-3

বা, y = -3 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-3) (Ans.)

নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ

খ) 2y=5x+6

সমাধানঃ

2y=5x+6

বা, 0 = 5x+6 [y=0 ধরে]

বা, 5x = -6

বা, x = -⁶/₅

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁶/₅, 0) (Ans.)

আবার,

2y=5x+6

বা, 2y = 6 [x=0 ধরে]

বা, y = 3

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,3) (Ans.)

নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ

গ) 3x-2y-4=0

সমাধানঃ

3x-2y-4=0

বা, 3x -4 =0 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 4

বা, x = ⁴/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁴/₃, 0) (Ans.)

আবার,

3x-2y-4=0

বা, -2y-4 = 0 [x=0 ধরে]

বা, -2y = 4

বা, y =-2

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-2) (Ans.)

নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ

বাকি অংশগুলো পরবর্তী পার্ট এ সমাধান করে দেওয়ার চেষ্টা করবো ইনশাআল্লাহ। 

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ১ 

আরো পড়ুন >> ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১১.৪ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট পার্ট = ২

১১.৪ অধ্যায় এর উপসংহার 

আমি উপরের নোটটি অনলাইন থেকে সংগ্রহ করে দিয়েছি। আশা করবো সবার উপকারে আসবে ইনশাআল্লাহ। 

Source