SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.2 Hand Note Part 03 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

আজকের আর্টিকেলে আমি নবম ও দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১.২ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট দিয়ে দেবো। আজকের আর্টিকেলে আমি নবম ও দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত এর ১.২ অধ্যায় এর অনুশীলনীর সকল অংকের সমাধান দিয়ে দেবো। যদিও এই হ্যান্ড নোটটি বেশি কয়েকটি পার্ট করে বিভক্ত করা হয়েছে। 

SSC higher math solution pdf, ssc higher math note book, এসএসসি উচ্চতর গণিত সমাধান, উচ্চতর গণিত ফাংশন, সেট ও ফাংশন উচ্চতর গণিত, অন্বয় ও ফাংশন। 

ফাংশন : SSC Higher Math BD-Chapter 1.2 (14-17)

ফাংশনঃ অন্বয় ও ফাংশন, অন্বয়ের ডোমেন, অন্বয়ের সদস্য, অন্বয়ের রেঞ্জ, ডোমেন, রেঞ্জ, বিপরীত অন্বয়। 

১৪. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।

ক) S={(x,y) : x2+y2=25}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x2+y2=25

বা, (x-0)2+(y-0)2=52

∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 5. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 5 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে।

নিচে তা দেখানো হলো।

লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,5) ও (0,-5) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।

খ) S={(x,y) : x2+y=9}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x2+y2=9

বা, (x-0)2+(y-0)2=32

∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 3. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 3 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে।

নিচে তা দেখানো হলো।

লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,3) ও (0,-3) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।

১৫. দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

ক) F(x+1) এবং F(½)  এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

F(x+1)=2(x+1)-1

            =2x+2-1

            =2x+1

F(½)=2.(½)-1

            =1-1

            =0  

খ) F(x) ফাংশনটি এক.এক. কিনা তা যাচাই কর, যখন x,y∈R।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

∴ F(a)=2a-1 এবং F(b)=2b-1

এখন, F(a)=F(b) এর জন্য

2a-1=2b-1

বা, 2a=2b

বা, a=b

সুতরাং ফাংশনটি এক-এক।

গ) F(x)=y হলে x এর তিনটি পূর্ণ সাংখ্যিক মানের জন্য y এর মান নির্ণয় কর এবং y=2x-1 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

F(x)=y

বা, F(x)=2x-1=y  [y=2x-1]

বা, 2x=y+1

বা, x=½(y+1)

এখন, y=1 হলে, ½(1+1)= ½✕2=1     

y=3 হলে, ½(3+1)= ½✕4=2    

y=5 হলে, ½(5+1)= ½✕6=3

∴ x এর তিনটি মান 1,2,3

এখানে, ক্রমজোড় তিনটি (1,1), (2,3), (3,5)

এবং এই তিনটি বিন্দু দ্বারা অঙ্কিত লেখচিত্র নিন্মরূপঃ

১৬. f : RàR এবং g : RàR ফাংশন দুইটি যথাক্রমে f(x)=3x+3 এবং g(x)=(x-3)/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক) g-1(-3) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

           x-3

g(x)=-------------

              3

ধরি, y=g(x)

            x-3

বা, y=-------------

               3

বা, 3y=x-3

বা, x=3y+3……..(i)

আবার, y=g(x)

বা, x=g-1(y)…….(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

g-1(y)=3y+3

বা, g-1(-3)=3.(-3)+3

            =-9+3

            =-6

খ) f(x) সার্বিক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f : RàR এবং f(x)=3x+3

ধরি, y=f(x)

বা, y=3x+3

বা, 3x=y-3

             y-3

বা, x=-------------

               3

এখন, f(x)=3x+3

         y-3                y-3

∴ f (----------)=3.-----------+3

           3                   3

                        =y-3+3

                        =y

                        =f(x)

∴ ফাংশনটি সার্বিক।

গ) দেখাও যে, g=f-1।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=3x+3

ধরি, y=f(x)

বা, y=3x+3

বা, 3x=y-3

           y-3

বা, x=--------- ….(i)

            3

এখন,

y=f(x)

বা, x=f-1(y)……(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

            y-3

f-1(y)=------------

              3

                  x-3

বা, f-1(x)=----------....(iii)

                    3

আবার, দেওয়া আছে,

           x-3

g(x)=-------------……(iv)

              3

(iii) ও (iv) হতে পাই,

f-1(x)=g(x)

বা, g=f-1 (দেখানো হলো)

১৭. দেওয়া আছে, f(x)= √(x-4)

ক) f(x) এর ডোমেন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)= √(x-4)

x এর মান ডোমেন হলে f(x) এর মান হবে রেঞ্জ।

f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি এবং কেবল যদি

 x-4≥0 হয়

বা, x≥4 হয়।

সুতরাং ডোম f={x∈R : x≥4}

খ) f(x) এক-এক ফাংশন কিনা নির্ধারণ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=√(x-4)

∴ f(a)= √(a-4)  এবং f(b)= √(b-4)

এখন, f(a)=f(b) এর জন্য ফাংশনটি এক-এক হবে যদি এবং কেবল যদি a=b হয়।

এখন, f(a)=f(b) হলে,

√(a-4)= √(b-4)

বা, a-4=b-4 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, a=b

∴ ফাংশনটি এক-এক।

গ) f-1(x) ফাংশন কিনা তা লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=√(x-4)

ধরি, y=f(x)

বা, x=f-1(y)…….(i)

এবং y=f(x)=√(x-4)

বা, y=√(x-4)

বা, y2=x-4

বা, x-4=y2

বা, x=y2+4……(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

f-1(y)=y2+4

বা, f-1(x)=x2+4

x এর কয়েকটি মানের জন্য f^-1(x) এর মান নির্ণয় করি।

x	-1	0	1
f-1(x)	5	4	5

L={(-1,5),(0,4),(1,5)}

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর f^-1(x) এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন। 

বি. দ্র. এখানে আমি অনুশীলনীর সমাধানগুলোর জন্য হ্যান্ডনোটটি অনলাইন থেকে সংগ্রহ করেছি। আশা করবো সবাই সহজেই বুঝতে পারবেন।