SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 01 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

এখানে আমি ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১.১ অধ্যায় এর অনুশীলনীর সকল গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান দিয়ে দেবো। আশা করবো হ্যান্ড নোটটি সবারই উপকারে আসবে।

সেট : SSC Higher Math-Chapter 1.1 (1-10)

এখানে আমি অনুশীলনীর ১নং প্রশ্ন থেকে ১০ নং প্রশ্ন পর্যন্ত গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান দিয়ে দেবো। আশা করবো সবাই বুঝতে পারবেন। 

সেটঃ উপসেট, তালিকা পদ্ধতি, ভেনচিত্র, অনন্ত সেট, সান্ত সেট, সার্বিক সেট, সেট গঠন পদ্ধতি, সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয়, সেট নির্ণয়।

১. (i) কোন সেটের সদস্য সংখ্যা 2n হলে, এর উপসেটের সংখ্যা হবে 4n।

    (ii) সকল মূলদ সংখ্যার সেট Q={P/Q : p,q ∈ Z, q≠0}

    (iii) a, b ∈ R; (a,b)={x:x∈R এবং a<x<b}

উপরের উক্তিগুলোর আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii     খ) ii ও iii     গ) i ও iii     ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

প্রত্যেক n∈N এর জন্য An={n,2n,3n,……} হলে (২-৪) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

২. A1∩A2 এর মান নিচের কোনটি?

ক) A1    খ) A2     গ) A3     ঘ) A4

উত্তরঃ খ

[A1={1,2,3,4…..}; A2={2,4,6,………}

∴A1∩A2={2,4,6,………}=A2]

৩. নিচের কোনটি A3∩A6  এর মান নির্দেশ করে?

ক) A2    খ) A3   গ) A4     ঘ) A6

উত্তরঃ  ঘ

৪. A2∩A3 এর পরিবর্তে নিচের কোনটি লেখা যায়?

ক) A3     খ) A4     গ) A5      ঘ) A6

উত্তরঃ  ঘ

৫. দেওয়া আছে, U={x:1≤x≤20, x∈Z}, A={x;x  বিজোড় সংখ্যা} এবং B={x;x মৌলিক সংখ্যা}। নিচের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লিপিবদ্ধ করঃ

ক) A    খ) B    গ) C={x:x∈A এবং x∈B}   ঘ) D={x:x∈A অথবা x∈B}

সমাধানঃ

U={x:1≤x≤20, x∈Z}

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

(ক) A={x;x  বিজোড় সংখ্যা}

∴ A={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

(খ) B={x;x মৌলিক সংখ্যা}

∴ B={3,5,7,11,13,17,19}

(গ) C={x:x∈A এবং x∈B}

        ={x:x∈A∩B}

এখন, A∩B

          ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∩{3,5,7,11,13,17,19}

          ={3,5,7,11,13,17,19}

          ={x:x মৌলিক সংখ্যা এবং x≤20}

∴ C={3,5,7,11,13,17,19}

(ঘ) D={x:x∈A অথবা x∈B}

             ={x:x∈A∪B}

এখন, A∪B

      ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∪{3,5,7,11,13,17,19}

     ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

     ={x:x বিজোড় সংখ্যা এবং 3≤x≤20}

∴ D={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

৬. ভেনচিত্রে A ও B সেটের উপাদানগুলোর সংখ্যা দেখানো হয়েছে। যদি n(A)=n(B) হয়, তবে নির্ণয় কর

ক) x এর মান

খ) n(AUB)

গ) n(B/A)

সমাধানঃ

(ক) ভেনচিত্র থেকে পাই,

n(A)=3x+x

n(B)=x+2x+8

প্রশ্নানুসারে,

n(A)=n(B)

বা, 3x+x=x+2x+8

বা, 4x=3x+8

বা, 4x-3x=8

বা, x=8

(খ) ভেনচিত্র থেকে পাই,

n(AUB)

=3x+x+2x+8

=6x+8

=6✕8+8  [x=8]

=48+8

=56

(গ) ভেনচিত্র থেকে পাই,

n(B/A)

=(x+2x+8)-(3x+x)

=3x+8-3x-x

=8-x

= 8-8  [x=8]

= 0

৭. যদি U={x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা} A={x:x≥5}⊂U এবং B={x:5x<12}⊂U তবে n(A∩B) এবং n(A’∪B) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

U={x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……….}

A={x:x≥5}⊂U

={5,6,7,8,9,10,……….}

B={x:5x<12}⊂U

={1,2}  [x এর মান 1,2 হলে 5x<12 হবে]

এখন,

A’=U-A

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…….}-{5,6,7,8,9,10,…..}

={1,2,3,4}

তাহলে,

(A∩B)

={5,6,7,8,9,10,……….}∩{1,2}

= ∅

 ∴ n(A∩B)=0

আবার,

(A’∪B)

={1,2,3,4}∪{1,2} 

={1,2,3,4}

∴ n(A’∪B’)=4

৮. যদি U={x:x জোড় পূর্ণসংখ্যা} A={x:3x≥25}⊂U এবং B={x:5x<12}⊂U তবে n(A∩B) এবং n(A’∩B’) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

U={x:x জোড় পূর্ণসংখ্যা}

  ={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}

A={x:3x≥25}⊂U

  ={10,12,14,……}

B={x:5x<12}⊂U

  ={….,-4,-2,0,2}

A’=U-A

   ={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}-{10,12,14,……}

  ={…,-4,-2,0,2,4,6,8}

B’=U-B

  ={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}- {….,-4,-2,0,2}

   ={4,6,8,10,……}

এখন,

(A∩B)

={10,12,14,……}∩{….,-4,-2,0,2}

=∅

∴ n(A∩B)=0

আবার,

(A’∩B’)

={…,-4,-2,0,2,4,6,8}∩{4,6,8,10,……}

={4,6,8}

∴ n(A’∩B’)=3

৯. দেখাও যে, ক) A/A=∅    খ) A/(A/A)=A।

সমাধানঃ

(ক) ধরি, x∈A/A

তাহলে, x∈A এবং x∉A

বা, x∈(A∩A’)

বা, x∈∅

∴ A/A⊂∅

আবার, ∅⊂A/A

∴ A/A=∅ [দেখানো হলো]

(খ) ধরি, x∈A/(A/A)

তাহলে, x∈A এবং x∉A/A

বা, x∈A এবং x∉∅ [A/A=∅; ক হতে]

বা, x∈A

∴ A/(A/A) ⊂ A

আবার ধরি, x∈A

তাহলে, x∈A এবং x∉∅

বা, x∈A এবং x∉(A/A)

বা, x∈A/(A/A)

∴ A⊂ A/(A/A)

সুররাং, A/(A/A)=A [দেখানো হলো]

১০. দেখাও যে, A✕(BUC)=(A✕B)U(A✕C)।

সমাধানঃ

সংজ্ঞানুসারে,

A✕(BUC)

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ (BUC)}

={(x,y) : x ∈ A, (y ∈ B অথবা y ∈ C)}

={(x,y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}

={(x,y) : (x,y) ∈ (A✕B) অথবা (x,y) ∈ (A✕C)}

={(x,y) : (x,y) ∈ (A✕B) U (A✕c)}

=(A✕B) U (A✕C)

∴  A✕(BUC) ⊂ (A✕B)U(A✕C)

আবার,

(A✕B)U(A✕C)

={(x,y) : (x,y) ∈ A✕B অথবা (x,y) ∈ A✕C}

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা x ∈ A, y ∈ C}

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা y ∈ C}

={(x,y) : x ∈ A, y ∈ (BUC)}

={(x,y) : (x,y) ∈ A✕(BUC)

= A✕(BUC)

∴ (A✕B)U(A✕C) ⊂ A✕(BUC)

সুতরাং, A✕(BUC)=(A✕B)U(A✕C) [দেখানো হলো]

বি. দ্র. এই নোটটি ক্লিক করুন এখানে অনলাইন ওয়েবসাইট থেকে সংগ্রহ করা হয়েছে।