SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 02 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

আজকের আর্টিকেলে আমি ৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১.১ অধ্যায় এর হ্যান্ড নোট দিয়ে দেবো। আশা করবো আজকের আর্টিকেলটি দেখার আগে আপনি আগের পার্টটি দেখে নিবেন। তাহলে সহজেই বিষয়টা বুঝতে পারবেন। 

সেটঃ উপসেট, তালিকা পদ্ধতি, ভেনচিত্র, অনন্ত সেট, সান্ত সেট, সার্বিক সেট, সেট গঠন পদ্ধতি, সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয়, সেট নির্ণয়। 

প্রথম অধ্যায়ঃ    সেট ও ফাংশন (Set and Function)

নবম ও দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত অনুশীলনী ১.১ হ্যান্ড নোট।  সেটঃ উপসেট, তালিকা পদ্ধতি, ভেনচিত্র, অনন্ত সেট, সান্ত সেট, সার্বিক সেট, সেট গঠন পদ্ধতি, সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয়, সেট নির্ণয়।

আরো পড়ুন >> SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 01 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)   

আরো পড়ুন >> SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 03 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

১১. যদি A⊂B এবং C⊂D হয় তবে দেখাও যে, (A✕C) ⊂ (B✕D)

সমাধানঃ

ধরি, (x,y) ∈ (A✕C)

তাহলে,

x ∈ A, y ∈ C

বা, x ∈ B, y ∈ D  [A⊂B এবং C⊂D]

বা, (x,y) ∈ (B✕D)

∴  (A✕C) ⊂ (B✕D) [দেখানো হলো]

১২. দেখাও যে, A={1,2,3,…n} এবং B={1,2,2n, …, 2n-1} সেট দুইটি সমতুল।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={1,2,3,…n} এবং B={1,2,2n, …, 2n-1}

A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে একটি এক-এক মিল নিন্মে দেখানো হলোঃ

A:		B:
1 2 3 … n	ß-------à ß-------à ß-------à   ß-------à	1 2 22  ... 2n-1

সুতরাং সেটদ্বয় সমতুল (দেখানো হলো)।

১৩. দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের বর্গের সেট S={1,4,9,16,25,36,…..} একটি অনন্ত সেট।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,  S={1,4,9,16,25,36,…..}

                   ={12,22,32,42,52,62,……..n2,……}

স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,…….n…….}

এখন আমরা N ও S এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিন্মোক্তভাবে দেখাতে পারি,

N:		S:
1 2 3 4 … n …	ß-----à ß-----à ß-----à ß-----à   ß-----à	1 4 9 16 … n2 …

সুতরাং, N ও S সমতুল। যেহেতু N স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N একটি অনন্ত সেট।

সুতরাং, S সেটটি ও একটি অনন্ত সেট। (দেখানো হলো)

১৪. প্রমাণ কর যে, n(A)=p, n(B)=q এবং A∩B=∅ হলে n(A∪B)=p+q।

সমাধানঃ

আমরা জানি, যে কোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

এখানে, n(A)=p, n(B)=q এবং A∩B=∅

∴ n(A∪B)=p+q+n(∅)

বা, n(A∪B)=p+q+0

বা, n(A∪B)=p+q (প্রমাণিত)

১৫. প্রমাণ কর যে, A,B,C সান্ত সেট হলে, n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

সমাধানঃ

আমরা জানি, যে কোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

এখন, n(A∪B∪C)=n[A∪(B∪C)]

=n(A)+n(B∪C)-n[A∩(B∪C)]

=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n[A∩B)∪(A∩C)]

= n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)+n[A∩B)∩(A∩C)]

= n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)

∴ n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) (প্রমাণিত)

১৬. A={a,b,x} এবং B={c,y} সার্বিক সেট U={a,b,c,x,y,z} এর উপসেট হলে,

ক) যাচাই কর যে, (i) A⊂B’  (ii) A∪B’=B’  (iii) A’∩B=B

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={a,b,x} এবং B={c,y} সার্বিক সেট U={a,b,c,x,y,z}

(i) B’=U-B

         ={a,b,c,x,y,z}-{c,y}

       ={a,b,x,z}

∴ A⊂B’  (যাচাই করা হলো)

(ii) B’=U-B

         ={a,b,c,x,y,z}-{c,y}

       ={a,b,x,z}

A∪B’={a,b,x}∪{a,b,x,z}={a,b,x,z}

∴ A∪B’=B’  (যাচাই করা হলো)

(iii) A’=U-A={a,b,c,x,y,z}-{a,b,x}={c,y,z}

A’∩B={c,y,z}∩{c,y}={c,y}=B

∴ A’∩B=B (যাচাই করা হলো)

খ) নির্ণয় করঃ (A∩B)∪(A∩B’)

সমাধানঃ

A∩B={a,b,x}∩{c,y}=∅

B’=U-B

         ={a,b,c,x,y,z}-{c,y}

       ={a,b,x,z}

∴ A∩B’={a,b,x}∩{a,b,x,z}={a,b,x}

সুতরাং, (A∩B)∪(A∩B’)= ∅∪{a,b,x}={a,b,x}

১৭. কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 19 জন অর্থনীতি, 17 জন ভূগোল, 11 জন পৌরনীতি, 12 জন অর্থনীতি ও ভূগোল, 4 জন পৌরনীতি ও ভূগোল, 7 জন অর্থনীতি ও পৌরনীতি এবং 3 জন তিনটি বিষয়ই নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ে কোনটিই নেয়নি?

সমাধানঃ

মনে করি, মোট শিক্ষার্থীর সেট S, অর্থনীতি নেওয়া শিক্ষার্থীর সেট E, ভূগোল নেওয়া শিক্ষার্থীর সেট G এবং পৌরনীতি নেওয়া শিক্ষার্থীর সেট C. তিনটির অন্তত যে কোনো একটি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা (E∪G∪C). সুতরাং তিনটির কনটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা=n(S)-n(E∪G∪C).

এখানে, n(E)=19, n(G)=17, n(C)=11, n(E∩G)=12, n(C∩G)=4, n(E∩C)=7, n(E∩G∩C)=5.

এখন, n(E∪G∪C)=n(E)+n(G)+n(C)-n(G∩C)-n(E∩G)-n(E∩C)+n(E∩G∩C)

                        =19+17+11-4-12-7+5

                        =52-23

                        =29

∴ কোন বিষয় নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা= n(S)-n(E∪G∪C)=30-29=1.

১৮. নিচের ভেনচিত্রে সার্বিক সেট U=A∪B∪C

ক) যদি n(A∩B)=n(B∩C) হয়, তবে x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, n(A∩B)=n(B∩C)

                   বা, x=4   [ভেনচিত্র হতে]

খ) যদি n(B∩C’)=n(A’∩C) হয়, তবে y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, n(B∩C’)=n(A’∩C)

বা, x+6=4+y (ভেনচিত্র হতে)

বা, 4+6=4+y  [x=4]

বা, 6=y

বা, y=6

গ) n(U) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

n(U)=8+x+6+4+y [ভেনচিত্র হতে]

          =8+4+6+4+6 [x=4, y=6]

 =28

১৯. নিচের ভেনচিত্রে U=A∪B∪Cএবং n(U)=50.

ক) x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

n(U)=x+5+2+3+0+2x+x+1+x-1 [ভেনচিত্র হতে]

          =5x+10

দেওয়া আছে, n(U)=50

∴ 5x+10=50

বা, 5x=50-10

বা, 5x=40

বা, x=40/5

বা, x=8

খ) n(B∩C’) এবং n(A’∩B) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

n(B∩C’)=x+1+x-1 [ভেনচিত্র হতে]

=2x

=2.8  [x=8]

=16

n(A’∩B)=0+x-1 [ভেনচিত্র হতে]

          =x-1

          =8-1 [x=8]

          =7    

গ) n(A∩B∩C’) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

n(A∩B∩C’)=x+1  [ভেনচিত্র হতে]

                   =8+1

                   =9

২০. তিনটি সেট A, B এবং C এমনভাবে দেওয়া আছে যেন, A∩B=∅, A∩C=∅ এবং C⊂B। ভেনচিত্র অঙ্কন করে সেটগুলোর ব্যাখ্যা দাও।

সমাধানঃ

প্রদত্ত তথ্য মতে, সেটগুলোকে ভেনচিত্রে দেখানো হলোঃ

A∩B=∅

ব্যাখ্যাঃ সেট A ও B এর মধ্য কোনো সাধারণ উপাদান নাই। অর্থাৎ A ও B নিশ্চেদ সেট।

A∩C=∅

ব্যাখ্যাঃ সেট A ও C এর মধ্য কোনো সাধারণ উপাদান নাই। অর্থাৎ A ও C নিশ্চেদ সেট।

C⊂B

ব্যাখ্যাঃ সেট C ও B এর মধ্যে সাধারণ উপাদান আছে। C সেটের সব উপাদান B সেটে আছে। 

আরো পড়ুন >> SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 03 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

বি. দ্র. আজকের আর্টিকেলটিতে ক্লিক করুন এখানে ওয়েবসাইট থেকে নেওয়া হয়েছে।