SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 03 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)

আজকের আর্টিকেলে আমি নবম ও দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১.১ অধ্যায় এর অনুশীলনীর গাণিতিক সমস্যা গুলোর সমাধান দিয়ে দেবো। এর আগে দুইটা পার্টে আমি মোট ২০টি অংক দিয়েছি। এখানে বাকি অংকগুলোর সমাধান দিয়ে দেওয়া হবে ইনশাআল্লাহ। 

৯ম ও ১০ম শ্রেণির উচ্চতর গণিত ১.১ অধ্যায়ের হ্যান্ড নোট

আগের দুইটা পার্ট এর প্রথমটাতে ১নং থেকে ১০ নং এবং পরেরটাতে ১১নং থেকে ২০ নং পর্যন্ত অংকের সমাধান দিয়ে দিয়েছি। আশা করবো সবার উপকারে আসবে। 

সেট : SSC Higher Math-Chapter 1.1 (24-30) Part 3 

সেটঃ ভেনচিত্র, সার্বিক সেট, সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয়, ফাঁকা সেট 

আরো পড়ুন >> SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 01 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)   

আরো পড়ুন >> SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 02 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)   

২১. দেওয়া আছে, A={x:2<x≤5, x∈R}, B={x:1≤x<3,x∈R} এবং C={2,4,5}। নিন্মের সেটগুলো গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

ক) A∩B    খ) A’∩B’      গ) A’∪B

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={x:2<x≤5, x∈R}, B={x:1≤x<3,x∈R} এবং C={2,4,5}

ক) A∩B={x:2<x≤5, x∈R}∩{x:1≤x<3,x∈R}

          ={x:2<x<3,x∈R}

খ) এখানে, U=R

∴ A∪B={x:2<x≤5, x∈R}∪{x:1≤x<3,x∈R}

          ={x:1≤x≤5,x∈R}

ডি. মরগানের সূত্রানুসারে,

A’∩B’=(A∪B)’

            =U-(A∪B)

            =R-{x:1≤x≤5,x∈R}

          ={x : x < 1 অথবা x>5, x ∈ R}

গ) এখানে, U=R

A’=U-A

   =R-{x:2<x≤5, x∈R}

  ={x:x≤2 অথবা x>5, x∈R}

A’∪B={x:x≤2 অথবা x>5, x∈R}∪{x:1≤x<3,x∈R}

      ={x:x<3 অথবা x>5, x∈R}

২২. দেওয়া আছে, U={x:x<10, x∈R}, A={x:1<x≤4} এবং B={x:3≤x<6}. নিন্মের সেটগুলো সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

ক) A∩B    খ) A’∩B     গ) A∩B’     ঘ) A’∩B’

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

U={x:x<10, x∈R}, A={x:1<x≤4} এবং B={x:3≤x<6}

ক) A∩B={x:1<x≤4}∩{x:3≤x<6}

          ={x:3≤x≤4}

খ) A’=U-A

            ={x:x<10, x∈R}-{x:1<x≤4}

          ={x:x≤1 অথবা 4<x<10}

A’∩B={x:x≤1 অথবা 4<x<10}∩{x:3≤x<6} 

          ={x:4<x<6}

গ) B’=U-B

            ={x:x<10, x∈R}-{x:3≤x<6}

          ={x:x≤3 অথবা 6≤x<10}

A∩B’={x:1<x≤4}∩{x:x≤3 অথবা 6≤x<10} 

          ={x:1<x<3}   

ঘ) AUB={x:1<x≤4}U{x:3≤x<6}

          ={x:1<x<6}

ডি. মরগানের সূত্রানুসারে,

A’∩B’=(AUB)’

            =U-(AUB)

            ={x:x<10, x∈R}-{x:1<x<6}

          ={x:x≤1 অথবা 6≤x<10}

২৩. নিন্মে প্রতিক্ষেত্রে A ও B সেট দেওয়া আছে, A∪B নির্ণয় কর এবং যাচাই কর যে, A⊂(A∪B) এবং B⊂(A∪B)।

ক) A={-2,-1,0,1,2} এবং B={-3,0,3}

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={-2,-1,0,1,2} এবং B={-3,0,3}

A∪B={-2,-1,0,1,2}∪{-3,0,3}

          ={-3,-2,-1,0,1,2,3}

∴ A⊂(A∪B) এবং B⊂(A∪B) [যাচাই করা হলো]

খ) A={x:x∈N, x<10 এবং x,2 এর গুণিতক} এবং B={x:x∈N, x<10 এবং x,3 এর গুণিতক}

সমাধানঃ

A={x:x∈N, x<10 এবং x,2 এর গুণিতক}

   ={2,4,6,8}

B={x:x∈N, x<10 এবং x,3 এর গুণিতক}

  ={3,6,9}

তাহলে, A∪B={2,4,6,8}∪{3,6,9}

                   ={2,3,4,6,8,9}

∴ A⊂(A∪B) এবং B⊂(A∪B) [যাচাই করা হলো]

২৪. নিন্মের প্রতিক্ষেত্রে A∩B নির্ণয় কর এবং যাচাই কর যে, (A∩B)⊂A এবং (A∩B)⊂B।

ক) A={0,1,2,3}, B={-1,0,2}

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={0,1,2,3}, B={-1,0,2}

∴ A∩B={0,1,2,3}∩{-1,0,2}

          ={0,2}

∴ (A∩B)⊂A এবং (A∩B)⊂B [যাচাই করা হলো]

খ) A={a,b,c,d} B={b,x,c,y}

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={a,b,c,d} B={b,x,c,y}

∴ A∩B={a,b,c,d}∩{b,x,c,y}

          ={b,c}

∴ (A∩B)⊂A এবং (A∩B)⊂B [যাচাই করা হলো]

২৫. বেগম রোকেয়া কলেজের ছাত্রীদের মধ্যে বিচিত্রা, সন্ধানী ও পূর্বাণী পত্রিকার পাঠ্যাভাস সম্পর্কে পরিচালিত এক সমীক্ষায় দেখা গেল 60% ছাত্রী বিচিত্র, 50% ছাত্রী সন্ধানী, 50% ছাত্রী পূর্বাণী, 30% ছাত্রী বিচিত্রা ও সন্ধানী, 30% ছাত্রী বিচিত্রা ও পূর্বাণী, 20% ছাত্রী সন্ধানী ও পূর্বাণী এবং 10% ছাত্রী তিনটি পত্রিকাই পড়ে।

ক) শতকরা কতজন ছাত্রী উক্ত পত্রিকা তিনটির কোনটাই পড়ে না?

খ) শতকরা কতজন ছাত্রী উক্ত পত্রিকাগুলোর মধ্যে কেবল দুইটি পড়ে?

সমাধানঃ

ধরি, সকল ছাত্রীর সেট U, বিচিত্রা পড়া ছাত্রীর সেট B, সন্ধানী পড়া ছাত্রীর সেট S, পূর্বাণী পড়া ছাত্রীর সেট P.

∴ শতকরা n(U)=100%, n(B)=60%, n(S)=50%, n(P)=50%, n(B∩S)=30%, n(B∩P)=30%,

n(P∩S)=20%, n(P∩B∩S)=10%

(ক)

তিনটি পত্রিকার অন্তত একটি পড়ে এমন শিক্ষার্থীর সেট n(B∪P∪S) [ভেনচিত্রে দ্রষ্টব্য]

এখন, n(B∪P∪S)

=n(B)+n(S)+n(P)-n(B∩P)-n(B∩S)-n(P∩S)+n(B∩P∩S)

=60%+50%+50%-30%-30%-20%+10%

=90%

তিনটির কোনটাই পড়ে না এমন ছাত্রীর সংখ্যা

=n(U)-n(B∪P∪S) [ভেনচিত্রের সাদা অংশ]

=100%-90%

=10%

(খ)

শুধু বিচিত্রা এবং পূর্বাণী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা 

=n(B∩P)-n(B∩P∩S)

=30%-10%

=20%

শুধু বিচিত্রা এবং  সন্ধানী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা

=n(B∩S)-n(B∩P∩S)

=30%-10%

=20%

শুধু পূর্বাণী এবং  সন্ধানী পড়ে  এমন ছাত্রীর সংখ্যা

=n(P∩S)-n(P∩B∩S)

=20%-10%

=10%

তাহলে, কেবল দুইটি পত্রিকা পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা

=20%+20%+10%=50%

২৬. A={x:x∈R এবং x2-(a+b)x+ab=0}, B={1,2} এবং C={2,4,5}

ক) A সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

A={x:x∈R এবং x2-(a+b)x+ab=0}

   ={x:x∈R এবং x2-ax-bx+ab=0}

   ={x:x∈R এবং x(x-a)-b(x-a)=0}

={x:x∈R এবং (x-b)(x-a)=0}

   ={x:x∈R এবং x=a,b}

∴ A সেটের উপাদানসমূহ a ও b

খ) দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

B={1,2} এবং C={2,4,5}

∴ B∩C={1,2}∩{2,4,5}={2}

তাহলে, P(B∩C)={{2},∅}

আবার,

P(B)={{1},{2},{1,2},∅}

P(C)={{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5},∅}

∴  P(B)∩P(C)= {{1},{2},{1,2},∅}∩{{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5},∅}

                   ={{2},∅}

সুতরাং, P(B∩C)=P(B)∩P(C) [দেখানো হলো]

গ) প্রমাণ কর যে, A✕(B∪C)=(A✕B)∪(A✕C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

B={1,2} এবং C={2,4,5}

এবং A={a,b} [ক হতে]

∴ B∪C={1,2}∪{2,4,5}

       ={1,2,4,5}

বামপক্ষ

=A✕(B∪C)

={a,b}✕{1,2,4,5}

={(a,1),(a,2),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,4),(b,5)}

আবার,

A✕B={a,b} ✕{1,2}

      ={(a,1).(a,2),(b,1),(b,2)}

A✕C={a,b}✕{2,4,5}

       ={(a,2),(a,4),(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)}

ডানপক্ষ

=(A✕B)∪(A✕C)

={(a,1).(a,2),(b,1),(b,2)}∪{(a,2),(a,4),(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)}

={(a,1),(a,2),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,4),(b,5)}

∴ A✕(B∪C)=(A✕B)∪(A✕C) [প্রমাণিত]

২৭. একটি শ্রেণির 100 জন ছাত্রের মধ্যে 42 জন ফুটবল, 46 জন ক্রিকেট এবং 39 জন দাবা খেলে। এদের মধ্যে 13 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 14 জন ক্রিকেট ও দাবা এবং 12 জন ফুটবল ও দাবা খেলতে পারে। এছাড়া 7 জন কোনো খেলায় পারদর্শী নয়।

ক) উল্লিখিত তিনটি খেলায় পারদর্শী এমন ছাত্রদের সেট এবং কোন খেলায় পারদর্শী নয় এমন ছাত্রদের সেট ভেনচিত্রে দেখাও।

সমাধানঃ

ধরি, সকল ছাত্রের সেট U. ফুটবল খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সেট F, ক্রিকেট খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সেট C, হকি খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সেট H.

n(U)=100, n(F)=42, n(C)=46, n(H)=39, n(F∩C)=13, n(C∩H)=14, n(F∩H)=12, n(F∩C∩H)=7

প্রদত্ত তথ্যের ভেনচিত্র নিন্মরূপঃ

খ) কতজন ছাত্র উল্লিখিত তিনটি খেলায়ই পারদর্শী তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

n(F∪C∪H)’=n(U)-n(F∪C∪H)

বা, 7=100- n(F∪C∪H)

∴ n(F∪C∪H)=93

এখন,

n(F∪C∪H)=n(F)+n(C)+n(H)-n(F∩C)-n(F∩H)-n(C∩H)+n(F∩C∩H)

বা, 93=42+46+39-13-12-14+n(F∩C∩H)

বা, n(F∩C∩H)+88=93

বা, n(F∩C∩H)=93-88

বা, n(F∩C∩H)=5

∴তিনটি খেলায় পারদর্শী শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5 জন।

গ) কতজন ছাত্র কেবলমাত্র একটি খেলায় পারদর্শী? কতজন অন্তত দুইটি খেলায় পারদর্শী?

সমাধানঃ

কেবল ফুটবল খেলে

=n(F)-n(F∩C)-n(F∩H)+n(F∩C∩H)

=42-13-12+5

=22

কেবল ক্রিকেট খেলে

=n(C)-n(F∩C)-n(C∩H)+n(F∩C∩H)

=46-13-14+5

=24

কেবল হকি খেলে

=n(H)-n(H∩C)-n(F∩H)+n(F∩C∩H)

=39-14-12+5

=18

∴কেবলমাত্র একটি খেলায় পারদর্শী

=22+24+18

=64 জন

কেবল ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে

=n(F∩C)-n(F∩C∩H)

=13-5

=8

কেবল ক্রিকেট ও হকি খেলে

=n(C∩H)-n(F∩C∩H)

=14-5

=9

কেবল ফুটবল ও হকি খেলে

=n(F∩H)-n(F∩C∩H)

=12-5

=7

∴অন্তত দুটি খেলায় পারদর্শী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

=8+9+7+5

=29 জন।

২৮. P(∅), P({∅}) সেট নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

P(∅)={∅}

P({∅})={∅,∅}={∅}

২৯. এক গ্রামে এক মিস্ত্রী ছিল। সে তাদের ঘর তৈরি করতো যারা নিজেরা নিজেদের ঘর তৈরি করতো না। মিস্ত্রীর ঘর কে তৈরি করতো?

সমাধানঃ

ধরি, গ্রামের সকল সদস্যদের সেট U

মিস্ত্রী ও তাঁর পরিবারের সেট A

∴মিস্ত্রীর ঘর তৈরি করবে তাদের সেট A'

∴মিস্ত্রীর ঘর তৈরি করবে A' সেটের সদস্যরা।

৩০. A={x:x∉A}। সেট A নিয়ে বিস্তৃত আলোচনা কর।  

সমাধানঃ

A সেটের শর্তমতে, A সেটের সদস্য হবে  x এর মান সমূহ। আবার, x, A এর উপাদান হতে পারবে না।

x এর এমন কোন মান নেই যা A সেটের সদস্য কিন্তু A এর উপাদান নয়।

তাহলে, A একটি ফাঁকা সেট।

∴ A=∅

আরো পড়ুন >> SF SSC Higher Mathematics Chapter 1.1 Hand Note Part 01 (৯ম ও ১০ম শ্রেণি)   

বি. দ্র. এই অধ্যায়টির হ্যান্ড নোট ক্লিক করুন এখানে থেকে সংগ্রহ করা হয়েছে।